Выпуклые функции и их свойства

3 Основные выпуклые функции

Для определения выпуклости функции существует мощный аппарат, позволяющий быстро и просто проверять, является ли та или иная функция выпуклой – не применять же каждый раз определение.
Для проверки непрерывности в математическом анализе обычно используется следующая логика: есть набор стандартных функций, про которые непрерывность известна, а также набор операций (типа сложения, умножения, деления, сложной функции и т.п.), которые сохраняют непрерывность или, как, например, в случае деления, сохраняют непрерывность при некоторых условиях.
По той же логике вычисляется и производная – производные стандартных функций известны, и есть правила дифференцирования сложения, умножения и т.п. Аналогично и в выпуклом анализе есть набор стандартных выпуклых функций и операций, которые сохраняют выпуклость. К выпуклым операциям также прилагаются правила вычисления субдифференциала.
Мы начнем с введения основных выпуклых функций, которые так или иначе появляются почти в любой выпуклой задаче.
3.1 Индикаторная функция
Индикаторная функция множества С  Rd обозначается через ????с(????) = ????(???? |????) ∶ Rd → R ̅.
По определению, ????с(????) = 0 для всех ???? ∈ ???? и ????с(????) = +∞ для всех ???? ∉ ????.
1. Индикаторная функция ????с является (i) выпуклой, если и только если множество ???? выпукло, (ii) замкнутой, если и только если множество ???? замкнуто и (iii) собственной, если и только если ???? ≠ ∅.
Доказательство. Надграфик ????с в Rd+1 есть ???? × [0; +∞) и потому выпукл, если и только если выпукло множество ???? и замкнут, если и только если ???? замкнуто. Поскольку ????с (????) ≠ −∞ ни для каких ???? и ????, то функция ????с является собственной, если и только если найдется такая точка ????, что ????с (????) ≠ ∞, т.е. если ???? ≠ ∅.
2. Если множество ???? выпукло, то для любого ???? ∈ ri ???? выполнено ???? ????с (????) = (aff ????)⟂, где через (aff ????)⟂ ⊂ Rd обозначено линейное подпространство ковекторов, ортогональных aff ????.
Доказательство. Если aff ???? = Rd, то в любой внутренней точке ???? ∈ int ???? существует производная ????′с(????) = 0, и поэтому ????????с (????) = {0} по теореме 1.1.
3.2 Опорная функция
Индикаторная функция позволяет точно описать произвольное множество С  Rd как функцию на Rd. Однако, такое описание чересчур прямолинейно. Намного более изящно можно описать множество С  Rd с помощью некоторой функции Rd — на такое описание часто оказывается намного полезнее прямого:
Опорная функция множества С  Rd обозначается через ????с (????) = ????(????|????) ∶ Rd → R ̅.
По определению, ????с (????) ≝ supx∈u⟨????, ???? ⟩.
Опорная функция, очевидно, положительно однородна, т.е.
????c(????????) = ????????c( (????), если ???? > 0
Описание множества с помощью его опорной функции имеет множество преимуществ. Однако, надо помнить, что при таком описании теряется часть информации о множестве, если оно не выпукло или не замкнуто, а именно:
1. ????c = ????cl conv c.
Доказательство. Очевидно, ???? ⊂ cl conv ????, поэтому ????c (????) ⩽ ????cl conv c (????) для любого ????. С другой стороны, если зафиксировать ???? ∈ Rd, то ???? ⊂ ????p ≝ {???? ∶ ⟨????, ???? ⟩ ⩽ ????c (????)}. Множество ????p есть замкнутое полупространство. Поскольку множество ????p выпукло, то conv ???? ⊂ ????p, а поскольку множество ????p замкнуто, то cl conv ???? ⊂ ????p.
Поэтому ⟨????, ???? ⟩ ⩽ ????c (????)для всех ???? ∈ cl conv ????, т.е. ???? cl conv c (????) ⩽ c (????), что и требовалось.
С другой стороны, если множество ???? выпукло и замкнуто, то оно может быть однозначно восстановлено по своей опорной функции с помощью взятия субдифференциала. Для того, чтобы это доказать, сначала докажем, что опорная функция является выпуклой замкнутой собственной функцией, а потом вычислим ее субдифференциал.
Предложение 2. Опорная функция ????c является (i) выпуклой при любом ????, (ii) замкнутой при любом ????, (iii) собственной, если и только если ???? ≠ ∅. Если дополнительно cl conv ???? ≠ Rd, то ????(????) ≠ ∞ для некоторого ???? ≠ 0.
Доказательство. Пусть ???? ∈ Rd. Обозначим через ????x ∶ Rd → R линейную функцию ????x (????) = ⟨????, ???? ⟩. Тогда по определению ????c есть поточечный супремум функций ????x по всем ???? ∈ ????: ????c (????) = sup x∈c ????x (????). Надграфик ????c есть пересечение надграфиков функций ????x по всем ???? ∈ ????. Поскольку надграфики функций ????x являются выпуклыми замкнутыми множествами, то таким же является и надграфик ????c и пункты (i) и (ii) доказаны. Докажем теперь пункт (iii). Очевидно, ????∅ ≡ −∞ – несобственная функция. Если ???? ≠ ∅, то ????c (0) = 0, поэтому функция ????c является собственной.
Если же дополнительно cl conv ???? ≠ Rd, то, отделяя любую точку вне cl conv ???? от него самого, мы найдем ковектор ????0 ≠ 0 такой, что sup ????∈cl conv c ⟨????0, ???? ⟩ < ∞, и, значит, ????c (????0) < ∞.
3.3 Функция Минковского

Функция Минковского множества ???? обозначается через4 ????c(????) = ????(???? |????) ∶ Rd → R. По определению, ????c(????) ≝ inf{???? ⩾ 0 ∶ ???? ∈ ????????} (напомним, inf∅ = +∞). Таким образом, ????c(????) – это минимальное число ???? > 0, в которое надо растянуть множество ????, чтобы данная точка ???? в него попала.